Как влияет действующий договор на пособие по безработице, если работы по нему не выполнялись?

Ситуация: была уволена в марте 2022 года. Обратилась в центр занятости. Прошла все процедуры. Мне выплачивали примерно 4 месяца пособие по безработице: с марта по август. В августе 2022 мне говорят, что я числюсь как работающая.

Выясняю. Оказывается, что год назад у меня был открыт договор на работы, по которому я выполнила единовременную работу, получила раз оплату в 2021 году и все. Но договор открыт до 31.12.2022, хоть по нему нет регулярных платежей и отчислений — по пенсионным отчислениям видно, никаких работ я для них в 2022 не делала.

Почему-то этого не увидели при оформлении меня безработной. Я про открытый договор не помнила. В итоге сотрудники центра занятости выдали мне квитанцию на оплату — возврат денежных средств, которые мне были выплачены за эти месяцы, как пособие по безработице.

Я обратилась в федеральную службу с вопросом, могу ли я не выплачивать денежные средства. Я действительно не работала, мне никто не платил зарплату. И при этом меня признали безработной. И если бы мне отказали еще в марте, то я б закрыла тот договор, так как узнала бы о нем и не ушла бы в минус.

Считаю, что в этом есть и вина сотрудников центра занятости. Получила ответ от федеральной службы. И не понимаю из него: нужно ли мне все таки выплачивать или я могу этого не делать. Можете помочь разобраться?